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terça-feira, 24 de março de 2009

Raiz de dois é irracional?

Por reduação ao absurdo (ou outra que desejarem), mostrar que raiz de dois é irracional. Atividade (1º ano).

16 comentários:

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  3. Primeiro considera-se que raíz de 2 é racional, e mostra-se um absurdo. Este absurdo foi pela suposição de que V2 seria racional, sendo portanto, irracional.

    Suponha que raiz 2 é racional.

    Então podemos colocá-lo na forma x / y, onde mdc(x,y) = 1 (x e y são primos), da seguinte forma:

    x / y = raiz 2

    Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

    ( x / y )² = 2.

    Então, x² = 2y². Como 2q² é par, então p também é par.

    Logo podemos chamar x = 2k. Substituindo na última igualdade, ficamos com:

    ( 2k )² = 2y². Ou seja, 4k² = 2y² e então em 2k² = y², mostrando que q também é um par.

    Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, x e y deveriam ser primos entre si, mas são divisíveis por 2. Concluímos, portanto, que V2 é irracional.

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  4. Ok Douglas. Que tal definirmos o que são números primos? Nada de: "...dívisível por 1 e por ele mesmo", vamos tentar outra definição.
    Sugestão, vamos verificar os múltiplos de 2 e de 3. Depois os múltiplos de 5 e 7. E assim por diante.
    Aliás... por que será que dizem que 1 não é primo?

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  5. Um numero é primo se for maior do q 1 e for divsível apenas por 1 e por ele mesmo. O fato de não se considerar 1 como primo é uma !ONVENÇAO!, pois facilita o enunciado de vários teoremas da teoria dos números. Por exemplo, o teorema fundamental da aritmética diz que todo inteiro maior que 1 pode ser representado de forma única, a menos da ordem dos fatores, por um prduto de números primos, cada um elevado a um expoente maior ou igual a 1. Se considerássemos o 1 como primo, haveria sempre 2 representações, uma incluindo o 1 e a outra não.

    Por exemplo. 10 = 5 X 2, que é a representação de 10 como produto de primos. Se considerássemos 1 como primo, teíamos também a representação 10 = 5 X2 X1, que soh complicaria as coisas!.

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  6. Ok. Vou postar o comentário no NOVO post que abri.

    Valew Thiago

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  7. Vou contribuir com uma prova um pouco diferente

    Partimos de um pressuposto que entendemos como correto do ponto de vista do conjunto dos números não-racionais (irracionais):

    >> A raiz quadrada de 2 é irracional, ou seja,
    não existem números inteiros positivos p e q tais que a/b = 1,4142135623...


    Demonstração por contradição ou redução ao absurdo, que nada mais é do que supor o contrário daquilo que se deseja demonstrar e concluir que tal negativa leva a algum absurdo ou contradição. Se o contrário de algo é um absurdo, logo aquele algo é verdadeiro: é esta lógica do método!

    Sendo assim:
    a/b = raiz de dois, então, a = b(raiz de 2), elevando ambos os termos ao quadrado, temos:
    a^2 = 2.b^2
    Sendo assim a^2 é par e o número p é também par, por exemplo: 2.3^2 = 18; 2.2^2 = 8; 2.7^2 = 28... o produto será sempre um número par.
    Agora assuma que a = 2c (c é um número inteiro e positivo)
    Como a^2 = 2b^2, então, substituindo a por 2c, temos (2c)^2= 2b^2, ou 4c^2 = 2b^2, de forma simplificada 2c^2 = b^2, que do mesmo modo que a, b^2 é par.
    Portanto raiz de dois = a/b sendo a um número par e b um número par.
    Esse fato contradiz a hipótese inicial de que a razão seria formada por uma fração a/b irredutível, sendo a e b primos entre si.

    Isso contradiz a maneira como imaginamos a e b.
    A contradição mostra que não existem números inteiros positivos p e q tais que (p/q)^2 = 2.
    Sendo assim é um não-racional.

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  9. ops, falha de CONVENÇÃO rsrsrrsrs

    onde se lê: "números inteiros positivos p e q tais que (p/q)^2 = 2."
    o correto é: números inteiros positivos a e b tais que (a/b)^2 = 2. Convencionamos a razão como sendo a/b...

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  10. mas entao professor
    estah mais do q provado q raiz de 2 eh irracional , pois se formos considerar q raiz de dois eh racional ela nao bate o resultado
    sendo assim impossivel de provar q eh racional
    e por essas excessoes q por convençao nomearam raiz de dois irracional (por nao saberem resolver uma coisa q eles proprios criaram)

    mas professor sera q isso vale para todas as raizes irracionais????

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  11. Taí, vamos verificar.
    Será?

    Por exemplo raíz de 3? Séra que provamos sua irracionalidade por redução ao absurdo? Seria, então, necessário provar que raíz de 3 = a/b (sendo a/b uma fração irredutível)então 3b^2=a^2. Vejamos se b=1, fica 3=a^2, a não pode ser 1, pode ser, por exemplo 2... 3/4 é 0,75, nunca conseguiremos chegar em uma fração desse tipo que dê exatamente três. Se for uma fração aparente pode ser.... por exemplo, 9/3, 18/6, 21/7, 1,5/0,5 (...)
    Bem, de fato a única prova 'elegante" é com raíz de dois.

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  12. Ah sim, e se avançarmos mais nessa discussão (e é desejável que isso ocorra)
    Passamos a questionar se raíz de dois elevado a raíz de dois dá um Racional ou Irracional?

    Vale o Teorema (Gelfond-Schneider): Sejam a e b números algébricos (reais ou complexos). Se a ≠ 0, a ≠ 1 e b não for racional (ou real), então a^b é transcendente??????

    Vamos corujas... mais esse desafio!

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  13. Não.Um número transcendente (ou transcedental) é um número real ou complexo que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes inteiros. Um número real ou complexo é assim transcendente se e somente se ele não é algébrico.

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  14. Olá Douglas

    De acordo, vejamos o que é um número dito algébrico?

    Se não sei o que é algébrico (por isso vamos definir, para que todos compreendam) não é possível concordar ou discordar da sua afirmação.

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  15. Professor Roberto Como provar que raiz quadrada de 5 é irracional?

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  16. Prove que a diferença entre um numero racional e um irracional é irracional.
    Preciso dessa!!!

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