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segunda-feira, 23 de março de 2009

Aritmética de Diophanto (275 d.C.)

275 d.C. Diophanto ao resolver um problema geométrico (Um triângulo retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é de 12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados) depara-se com a equação 24x^2-172x+336=0, cujo descriminante é negativo, não tendo assim raízes reais passa a "imaginar" a solução em um outro campo até então desconhecido: o dos números complexos. Porém, como veremos adiante, não foi dessa equação do segundo grau a origem dos complexos...

Tarefa para os alunos dos terceiros anos:
Postar a solução do problema de Diophanto, desde a imagem do triângulo retângulo, passos da algebrização até a chegada das equações que determinam a solução do problema.

13 comentários:

  1. 275 d.C. Diophanto ao resolver um problema geométrico (Um triângulo retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é de 12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados) depara-se com a equação 24x^2-172x+336=0, cujo descriminante é negativo, não tendo assim raízes reais passa a "imaginar" a solução em um outro campo até então desconhecido: o dos números complexos. Porém, como veremos adiante, não foi dessa equação do segundo grau a origem dos complexos...

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  2. Tarefa para os alunos dos terceiros anos:
    Postar a solução do problema de Diophanto, desde a imagem do triângulo retângulo, passos da algebrização até a chegada das equações que determinam a solução do problema.

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  3. Ah sim... temos que arrumar o título do post: (275 D.C.) por (275 d.C.) "depois de Cristo".
    Abs

    Prof. Roberto

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  4. (meu Deus, que é isso?)
    chequei a:
    172 +OU- RAIZ DE 2672i, dividido por 48.
    supertosco né? (matemática não é o meu forte)

    Bem é isso. professor porque temos que aprender esse tipo de coisa no ensino médio? na minha opinião deveríamos aprender uma matemática mais prática, que realmente fôssemos usar no nosso dia-a-dia.

    Obrigado;
    Até.

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  5. Achei uma coisinha no site do brasilescola, é interessante, conta um pouco da história dos números complexos.



    Ao resolver uma equação do 2º grau podemos obter três resultados, dependendo do valor do discriminante:
    ∆ > 0, duas raízes reais diferentes.
    ∆ = 0, uma raiz real.
    ∆ < 0, nenhuma raiz real.

    Resolvendo a equação do 2º grau dentro do universo dos números reais, os casos em que
    ∆ < 0 não podem ser resolvidos, pois não existe raiz de número negativo dentro do conjunto dos números reais.
    O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
    Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .

    Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.
    Exemplos:

    z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
    z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2

    A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:
    x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
    x² = –81
    x = ±√–81
    Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81
    x = ±9i


    2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
    a = 2, b = -16, c = 50
    ∆ = b² - 4ac
    ∆ = (-16)² - 4 * 2 * 50
    ∆ = 256 – 400
    ∆ = -144

    Temos (±12i)² = 144i² = 144*(-1) = -144.



    x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i

    Por Marcos Noé
    Graduado em Matemática
    Equipe Brasil Escola

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  6. Prezado Professor

    Eu resolvi o problema, mas para poder demonstrar a imagem do triangulo, tive que postar a atividade no meu blog.

    http://alinesehnem.blogspot.com/

    Atenciosamente

    Aline Sehnem

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  7. Professor,

    Eu tentei resolver o problema...peço que entre no meu blog pois esta como imagem...esta certo? ;s

    :)

    Le

    http://www.leticiahamm.blogspot.com/

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  8. Queridos alunos

    ótimos posts...

    Vou arranjar um modo de disponibilizar a todos suas contribuições.

    Fabiano

    Conforme discutimos em sala, não dá a impressão que a criação dos Complexos foi para resolver equações do 2º grau que davama discriminante (delta) negativo (menor do que zero)?

    Pois é, como bem sabemos não foi de equações desse tipo e sim do 3º grau (Bombeli e G. Cardano).

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  9. Professor..
    resolvi o exercicio..
    segue o link do meu blog..

    http://karllasc3.blogspot.com/

    Att Karllas
    XD

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  10. Professor.

    Resolvi a crise existencial do i^2 e o triângulo de Diophanto.

    Estão no meu blog, pq naum tenho a capacidade de fazer contas no computador (XD).

    http://andrecont.blogspot.com/

    Por favor, diga se fiz certo ou não.

    Muito Obrigado.

    André Luiz - C3.

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  11. Olá!
    Resolvi a equação de Diphanto.
    Está no meu blog : http://cihth.blogspot.com/
    O desenho está meio pequeno, mas acho que dá pra ver que eu fiz, hehe.

    Obrigada!
    Cecília Thais Hamm, C3

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  12. Professor,
    resolvi o probleminh do i² no meu blog
    http://cihth.blogspot.com/

    tá meio ruim por causa do 1/2 ao quadrado, mas acho que vc entende, hehe.

    Cecília Thais Hamm
    C3

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  13. adorei as dicas obrigado!!!!!

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